Uma introdução suave à álgebra linear

Uma introdução suave à álgebra linear

O que é álgebra linear?

A álgebra linear é um campo da matemática que é universalmente considerado um pré-requisito para uma compreensão mais profunda do aprendizado de máquina.

Embora a álgebra linear seja um campo amplo, com muitas teorias e descobertas esotéricas, as ferramentas e notações básicas tiradas do campo são práticas para os praticantes de aprendizado de máquina. Com uma base sólida do que é álgebra linear, é possível focar apenas nas partes boas ou relevantes.

Neste tutorial, você descobrirá o que exatamente é álgebra linear do ponto de vista do aprendizado de máquina.

Depois de concluir este tutorial, você saberá:

  • A álgebra linear é a matemática dos dados.
  • A álgebra linear teve um impacto marcante no campo da estatística.
  • A álgebra linear é a base de muitas ferramentas matemáticas práticas, como a série de Fourier e computação gráfica.

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Vamos começar.

Uma introdução suave à álgebra linear

Uma introdução suave à álgebra linear
Foto de Steve Corey, alguns direitos reservados.

Visão geral do tutorial

Este tutorial é dividido em 4 partes; eles estão:

  1. Álgebra Linear
  2. Álgebra Linear Numérica
  3. Álgebra Linear e Estatística
  4. Aplicações da Álgebra Linear

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Álgebra Linear

A álgebra linear é um ramo da matemática, mas a verdade é que a álgebra linear é a matemática dos dados. Matrizes e vetores são a linguagem dos dados.

A álgebra linear trata de combinações lineares. Isto é, usando aritmética em colunas de números chamadas vetores e arranjos de números chamados matrizes, para criar novas colunas e arranjos de números. Álgebra linear é o estudo de linhas e planos, espaços vetoriais e mapeamentos necessários para transformações lineares.

É um campo de estudo relativamente jovem, inicialmente formalizado em 1800 para encontrar incógnitas em sistemas de equações lineares. Uma equação linear é apenas uma série de termos e operações matemáticas em que alguns termos são desconhecidos; por exemplo:

Equações como essa são lineares, pois descrevem uma linha em um gráfico bidimensional. A linha vem da inserção de diferentes valores no desconhecido x para descobrir o que a equação ou modelo faz com o valor de y.

Podemos alinhar um sistema de equações com a mesma forma com duas ou mais incógnitas; por exemplo:

A coluna de valores y pode ser tomada como um vetor coluna de resultados da equação. As duas colunas de valores de ponto flutuante são as colunas de dados, digamos a1 e a2, e podem ser consideradas como uma matriz A. Os dois valores desconhecidos x1 e x2 podem ser tomados como os coeficientes da equação e juntos formam um vetor de desconhecidos b a ser resolvido. Podemos escrever isso de forma compacta usando a notação de álgebra linear como:

Problemas dessa forma geralmente são difíceis de resolver porque há mais incógnitas (aqui temos 2) do que equações para resolver (aqui temos 3). Além disso, geralmente não há uma única linha que possa satisfazer todas as equações sem erros. Os sistemas que descrevem problemas nos quais estamos frequentemente interessados ​​(como uma regressão linear) podem ter um número infinito de soluções.

Isso nos dá uma pequena amostra da essência da álgebra linear que nos interessa como praticantes de aprendizado de máquina. Grande parte das operações restantes é para tornar esse e outros problemas mais fáceis de entender e resolver.

Álgebra Linear Numérica

A aplicação da álgebra linear em computadores é freqüentemente chamada de álgebra linear numérica.

Álgebra linear “numérica” é, na verdade, álgebra linear aplicada.

- Página ix, Numerical Linear Algebra, 1997.

É mais do que apenas a implementação de operações de álgebra linear em bibliotecas de código; também inclui o tratamento cuidadoso dos problemas da matemática aplicada, como trabalhar com a precisão de ponto flutuante limitada dos computadores digitais.

Os computadores são bons em realizar cálculos de álgebra linear, e grande parte da dependência de unidades de processamento gráfico (GPUs) por métodos modernos de aprendizado de máquina, como aprendizado profundo, se deve à sua capacidade de calcular operações de álgebra linear rapidamente.

Implementações eficientes de operações de vetor e matriz foram originalmente implementadas na linguagem de programação FORTRAN nas décadas de 1970 e 1980 e muito código, ou código portado dessas implementações, está na base de grande parte da álgebra linear realizada usando linguagens de programação modernas, como Python.

Três bibliotecas populares de álgebra linear numérica de código aberto que implementam essas funções são:

  • Pacote de álgebra linear ou LAPACK.
  • Subprogramas básicos de álgebra linear ou BLAS (um padrão para bibliotecas de álgebra linear).
  • Software de Álgebra Linear Ajustado Automaticamente, ou ATLAS.

Freqüentemente, quando você está calculando operações de álgebra linear direta ou indiretamente por meio de algoritmos de ordem superior, é muito provável que seu código comece a usar um desses ou bibliotecas de álgebra linear semelhantes. O nome de uma ou mais dessas bibliotecas subjacentes pode ser familiar para você se você instalou ou compilou qualquer uma das bibliotecas numéricas do Python, como SciPy e NumPy.

Álgebra Linear e Estatística

A álgebra linear é uma ferramenta valiosa em outros ramos da matemática, especialmente na estatística.

Normalmente, espera-se que os alunos que estudam estatística tenham visto pelo menos um semestre de álgebra linear (ou álgebra aplicada) no nível de graduação.

- Página xv, Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, 2014.

É importante considerar o impacto da álgebra linear, dada a relação fundamental que ambos os campos têm com o campo do aprendizado de máquina aplicado.

Algumas impressões digitais claras de álgebra linear em estatísticas e métodos estatísticos incluem:

  • Uso de notação vetorial e matricial, especialmente com estatísticas multivariadas.
  • Soluções para mínimos quadrados e mínimos quadrados ponderados, como para regressão linear.
  • Estimativas de média e variância de matrizes de dados.
  • A matriz de covariância que desempenha um papel fundamental nas distribuições gaussianas multinomiais.
  • Análise de componentes principais para redução de dados que reúne muitos desses elementos.

Como você pode ver, as estatísticas modernas e a análise de dados, pelo menos no que diz respeito aos interesses de um profissional de aprendizado de máquina, dependem da compreensão e das ferramentas da álgebra linear.

Aplicações da Álgebra Linear

Como a álgebra linear é a matemática dos dados, as ferramentas da álgebra linear são usadas em muitos domínios.

Em seu livro clássico sobre o tema intitulado “Introdução à Álgebra Linear“, Gilbert Strang fornece um capítulo dedicado às aplicações da álgebra linear. Nele, ele demonstra ferramentas matemáticas específicas enraizadas na álgebra linear. Resumidamente, eles são:

  • Matrizes em Engenharia, como uma linha de molas.
  • Gráficos e redes, como análise de redes.
  • Matrizes de Markov, População e Economia, como o crescimento populacional.
  • Programação Linear, o método de otimização simplex.
  • Série de Fourier: Álgebra Linear para funções, amplamente utilizada no processamento de sinais.
  • Álgebra linear para estatísticas e probabilidade, como mínimos quadrados para regressão.
  • Computação Gráfica, como a tradução, reescalonamento e rotação de imagens.

Outra aplicação interessante da álgebra linear é que ela é o tipo de matemática usado por Albert Einstein em partes de sua teoria da relatividade. Especificamente tensores e cálculo de tensores. Ele também introduziu um novo tipo de notação de álgebra linear na física, chamada notação de Einstein ou convenção de soma de Einstein.

Tutoriais de álgebra linear

Você está procurando ajuda para começar com álgebra linear, então dê uma olhada em alguns destes tutoriais:

Extensões

Esta seção lista algumas idéias para estender o tutorial que você pode querer explorar.

  • Pesquise em livros e na web por 5 citações que definem o campo da álgebra linear.
  • Pesquise e liste mais 5 aplicações ou usos da álgebra linear no campo de probabilidade e estatística.
  • Liste e escreva definições curtas para 10 termos usados ​​na descrição da álgebra linear.

Se você explorar qualquer uma dessas extensões, adoraria saber.

Leitura Adicional

Esta seção fornece mais recursos sobre o tópico se você deseja se aprofundar.

Livros

Artigos

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Resumo

Neste tutorial, você descobriu uma introdução suave à álgebra linear de uma perspectiva de aprendizado de máquina.

Especificamente, você aprendeu:

  • A álgebra linear é a matemática dos dados.
  • A álgebra linear teve um impacto marcante no campo da estatística.
  • A álgebra linear é a base de muitas ferramentas matemáticas práticas, como a série de Fourier e computação gráfica.

Você tem alguma pergunta?
Tire suas dúvidas nos comentários abaixo e farei o possível para responder.

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